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数苑计算器应用2:用初等变换法求矩阵的逆矩阵 [编辑] [删除]
2016-10-10 23:28:44 | 分类: 教学研究
    上一篇博文中,我们探讨了矩阵的初等变换在求行列式的值中的应用,本篇重点探讨运用初等变换求矩阵的逆矩阵的方法,而计算采用的是数苑可视公式计算软件。

    定义:对于阶矩阵,如果存在一个阶矩阵,使得,则称矩阵为可逆矩阵,而矩阵称为逆矩阵

    定理1阶矩阵可逆的充分必要条件是其行列式,且当可逆时,有,其中的伴随矩阵。

    上述这种求矩阵的逆矩阵的方法称为伴随矩阵法,但是,对于较高阶的矩阵,用伴随矩阵法求逆矩阵的计算量太大,其理论意义远远大于其实用意义。

    下面介绍的求逆矩阵的初等变换法,不仅计算量大大降低,而且方法简便,并适用于高阶的矩阵。

    定理2:阶矩阵可逆的充分必要条件是它可以表示为若干初等矩阵的乘积.

    求逆矩阵的初等变换法:可逆,则可逆,由定理可知,存在初等矩阵使得

                        

即                               ,                                     (1)

                                ,                                    (2)

(1)表示对施以若干次初等行变换化为,(2)表示对施以同样的初等行变换化为.

因此,求矩阵的逆矩阵时,可构造矩阵,然后对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵,则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为,即

                             .

    下面举2个例子具体说明之。而利用数苑可视计算软件作矩阵的初等变换时,采用的方法是:打开公式编辑器窗口,编辑第一个矩阵后,每次只需编辑指定的初等变换运算符,选中该运算符,单击右键弹出菜单,选中初等变换运算,即可自动生成变换后的矩阵,如此直至完成矩阵的变换。

    例1:用初等变换法求矩阵的逆阵.


   

   

因此  .

    例2:用初等变换求矩阵的逆矩阵.


   

        

         

    

因此  .

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