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博文
利用数形结合方法进行探究性教与学之一 [编辑] [删除]
2016-10-10 23:29:58 | 分类: 教学研究

    利用数苑可计算文档SPD与可演示文稿SPP中的计算作图功能,可以让广大师生非常方便地通过数形结合的方法实施探究性教学或学习,本文及后面的几篇博文将陆续为广大师生给出一些示例,以推动大家广泛使用此类方法进行探究式教学或学习,其中的可计算文档SPD软件与可演示文稿SPP软件,可以直接登录数苑网相应栏目下载:

     http://www.sciyard.com/SciencePlay/spd/http://www.sciyard.com/SciencePlay/spp/

    示例:求函数的值域.

    在中学阶段,我们所学习的函数一般有三种表示方法,分别为公式法、图像法与表格法,利用函数的公式表示法与图像表示法之间的对应关系解题,实质就是利用数形结合的思想通过观察函数的图像直观地得到启示,这可大大降低解题的难度。

    从历史上看,2000多年前,以欧几里德等为代表的古希腊数学家们就为几何学奠定了相当坚实的基础,从那时起直到公元1600年前后,几何学几乎成为了数学的代名词,而代数的发展历史仅仅是那之后数百年的事情。因此,在中学阶段的学习中,如能特别关注数形结合的思想方法,尽可能借助几何直观来解题或提供某种启示是非常好的教与学方法。

    针对本例,打开可计算文档SPD中的图形编辑与计算软件GraphPlay,从计算作图菜单中选择2D函数作图功能,输入函数表达式及其定义区间,图形可通过调整定义区间和步长逐步探究,易作出如下图形:

                 

    从上图可见,当,函数为增函数;当,函数为减函数,在两端点达到最小值,在达到最大值,由此易求得函数的值域为。其中,函数的增减性可用定义法直接证明。

    本例的意义在于,它不是一种解题技巧,而是当普遍适用的一类方法,可以解决我们教学中的大量问题。

    如果已经学习了导数及其应用的基本内容,本题还可以通过“求导法”来解决:

    易知函数的定义域是,可以验证函数是偶函数,故可以只研究函数在上的单调性,
                       
    当时,

               
    所以,故函数在上单调递减,所以
    综上,函数的值域是.

    也有人借助“换元法”来求解:

    设,原函数可变换为
                  ,且,求函数时的值域.

    将等号两边平方得
    而,即时,取得最大值.

    此时,又

    但此法不易求出函数的最小值,仅能判断,这样就容易得到错误的结果:

                                         

如果要求出函数的最小值,还需借助其他方法。

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