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函数概念的起源、产生与扩张(一) [编辑] [删除]
2016-10-10 21:55:33 | 分类: 教学研究

    函数是现代数学的基本概念之一。17世纪初,数学首先从对运动(如天文、航海等问题)的研究中引出了函数这个基本概念。从那以后的数百年里,这个概念几乎在所有的科学研究工作占据了中心位置。



定义 :设 是两个变量, 是一个给定的非空数集. 如果对于每个数  变量 按照一定法则总有确定的数值和它对应,则称 的函数 ,记作


    函数的上述定义是我们在微积分中学过的,下面要进一步来探讨函数概念的起源、产生与扩张:


1、函数概念的起源

    函数概念的起源,可以追溯到古代对图形轨迹的研究,早在古希腊时期,人们就逐渐发现,在各种已经建立起来的数的运算中,某些量之间存在着一种规律:一个或几个量的变化,往往会引起另一个量的变化,这种从数学本身的运算中反映出来的量与量之间的相互依赖关系,就是函数概念的萌芽。在代数学的方程理论中,对不定方程的求解,使得人们对函数概念逐步由模糊趋向清晰。

    2、函数概念的产生

    恩格斯曾指出:“数学中的转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学” 。笛卡儿在1637年出版的《几何学》中,第一次涉及到变量,他称为“未知和未定的量”,同时也引入了函数的思想。英国数学家格雷果里在1667年给出的函数的定义,被认为是函数解析定义的开始。他在“论圆和双曲线的求积”中指出:从一些其他量经过一系列代数运算或任何其他可以想象的运算而得到的一个量。这里的运算指的是五种代数运算以及求极限运算,但这一定义未能引起人们的重视。

    一般公认最早给出函数定义的是德国数学家莱布尼兹,他在1673年的一篇手稿中,把任何一个随着曲线上的点变动而变动的几何量,如切线、法线、点的纵坐标都称为函数;并且强调这条曲线是由一个方程式给出的。莱布尼兹又在1692年的论文中,称 幂的 、 、 等为 的幂数,把幂与函数看作同义语,以后又用“函数”表示依赖于一个变量的量。

    3、函数概念的扩张

    函数概念被提出后,由于微积分学的发展,函数概念也不断进行扩张,日趋深化。致使函数概念日趋精确化、科学化。函数概念在发展过程中,大致经过了以下几个阶段的扩张。

    函数概念的第一次扩张 ,主要是解析扩张,提出了“解析的函数概念”。瑞士数学家约翰.伯努利于1698年给出了函数新的定义:由变量 和常量用任何方式构成的量都可以叫做 的函数。这里的“任何方式”包括了代数式子和超越式子。1748年欧拉在《无穷小分析引论》中给出的函数定义是:“变量的函数是一个解析表达式,它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的”。1734年欧拉还曾引入了函数符号 ,并区分了显函数和隐函数、单值函数和多值函数、一元函数和多元函数等。在十八世纪占主要地位的观点是,把函数理解为一个解析表达式(有限或无限的)。

   (未完待续……)



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