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函数概念的起源、产生与扩张(二) [编辑] [删除]
2016-10-10 21:55:52 | 分类: 教学研究

    3、函数概念的扩张(接上一篇:函数概念的起源、产生与扩张(一))
    函数概念的第二次扩张,是从几何方而的扩张,提出了“几何的函数概念”。十八世纪中期的一些数学家发展了莱布尼兹将函数看作几何量的观点,而把曲线称为函数(因为解析表达式在几何上表示为曲线)。达朗贝尔在1746年研究弦振动问题时,提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数,后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的,因此提出了一个新的定义,函数是:“ 平面上随手画出来的曲线所表示的 与 的关系”。即把函数定义为由单个解析式表达出的连续函数,也包括由若干个解析式表达出的不连续函数(不连续函数的名称是由欧拉提出的)。

    函数概念的第三次扩张,朴素地反映了函数中的辩证因素,体现了“自变”到“因变”的生动过程。形成了“科学函数定义的雏型”。1775年,欧拉在《微分学》一书中,给出了函数的另一定义:“如果某些变量,以这样一种方式依赖于另一些变量,即当后者变化时,前者也随之变化,则称前面的变量为后面变量的函数”。值得指出的是,这里的“依赖”、“随之变化”等等的含义仍不十分确切。这个定义限制了概念的外延,它只能算函数概念的科学雏型。在这次函数概念的扩张中,十九世纪最杰出的法国数学家柯西在1821年所著的《解析教程》中,给出了如下函数定义:“在某些变量间存在着一定的关系,当一经给定其中某一变量的值,其他变量的值也随之确定,则将最初的变量称为自变量,其他各个变量称为函数”。这个定义把函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系给予了澄清,也避免了数学意义欠严格的“变化”一词。函数是用一个式子或多个式子表示,甚至是否通过式子表示都无关要紧。

    函数概念的第四次扩张,使得“科学函数定义”进入精确化阶段。德国数学家狄利克雷于1837年给出了函数定义:“若对的每一个值,总有完全确定的值与之对应,不管建立起这种对应的法则的方式如何,都称的函数”。这一定义彻底地抛弃了前面一些定义中解析式的束缚,强调和突出函数概念的本质,即对应思想,使之具有更加丰富的内涵。因而,此定义才真正可以称得上是函数的科学定义,为理论研究和实际应用提供了方便。狄利克雷还给出了著名的函数(人们称为狄利克雷函数),这个函数是难以用简单的包含自变量的解析式表达的,但按照上述定义的确是一个函数。为使函数概念适用范围更加广泛,人们对函数定义作了如下补充:“函数的自变量,可以不必取中的一切值,而可以仅取其任一部分”,换句话说就是的取值可以是任意数集,这个集合中可以有有限个数、也可以有无限多个数,可以是连续的、也可以是离散的。这样就使函数成了一个非常广泛的概念。但是,自变量及函数仍然仅限于数的范围,而且也没有意识到“函数”应当指对应法则本身。

    函数概念的第五次扩张,提出了“近代函数定义”。出现了美国数学家维布伦的函数定义,这个定义是建立在重新定义变量、变域和常量的基础上的。所谓变量,是代表某集合中任意一个“元素”的记号,由变量所表示的任一元素,称为该变量的值。变量代表的“元素”的集合,为该变量的变域,而常量是上述集合中只包含一个“元素”情况下的特殊变量。这样的变量与常量的定义,比原来的定义更趋一般化了,而且克服了以往变量定义的缺陷,变量“变动”改进为变量在变域(集合)中代表一个个元素。利用这一变量的定义,维布伦给出了近代函数定义:“设集合X、Y,如果X中每一个元素都有Y中唯一确定的元素与之对应,那么我们就把此对应叫做从集合X到集合Y的映射,记作 X Y,”。映射的特殊情况,从数集到数集的映射就是前面狄利克雷的函数定义;从“数集”到“集”仅一字之差,但含意却大不相同。从而使函数概念摆脱了数的束缚,使得函数概念能广泛地应用于数学的各个分支及其它学科中。

    函数概念的第六次扩张,提出了“现代函数定义”。19世纪康托尔创建了集合论,函数概念进入了集合论的范畴,使函数概念纯粹地使用集合论语言进行定义。在这种情形下,函数、映射又归结为一种更为广泛的概念——关系。“设集合,定义的积集:。积集中的一个子集称为的一个关系,若,则称有关系,记为;若,则称无关系。设的关系,即,如果,必有,那么称的映射或函数”。这就是现代的函数定义,它在形式上回避了“对应”术语,使用的全部是集合论的语言,一扫原来定义中关于“对应”的含义存在着的模糊性,而使函数念更为清晰、正确,应用范围更加广泛了。

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