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数学建模——从函数关系的建立谈起(一) [编辑] [删除]
2016-10-10 21:56:41 | 分类: 教学研究

    在某一自然现象或社会现象中,往往同时存在多个不断变化的量,即变量,这些变量并不是孤立变化的,而是相互联系并遵循一定的规律,函数关系就是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型。因而数学建模本质上就是某种函数关系的建立。

    数学,作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学,在它产生和发展的历史长河中,一直是和人们生活的实际需要密切相关的,作为用数学方法解决实际问题的第一步,数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。

    例如,牛顿的万有引力定律是17世纪自然科学最伟大的成果之一。它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一了起来,对以后物理学和天文学的发展具有深远的影响。该定律表明:自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的大小与两物体的质量的乘积成正比,与两物体间距离的平方成反比,即,其中万有引力常数

    牛顿的万有引力定律是科学发展历史上数学建模的成功范例,也是人类认识自然一座里程碑。仅在天文观测方面,它就为人们提供了一套简便计算方法,使我们只凭少数观测资料,就能算出长周期运行的天体运动轨道,科学史上哈雷彗星、海王星、冥王星的发现,都是应用万有引力定律取得重大成就的例子。

    当然,在科学发展历史上还有很多类似的例子,比如,爱因斯坦的质能转换公式等等……

    马克思说过,一门科学之友成功地运用数学时,才算达到了完善的地步。在高新技术领域,数学已不再仅仅作为一门科学,而是许多技术的基础,从这个意义上说,高新技术本质上就是一种数学技术。20世纪下半叶以来,由于计算机软硬件的飞速发展,数学正以空前的广度和深度向一切领域渗透,而数学建模作为应用数学方法研究各领域中定量关系的关键与基础也越来越受到人们的重视。

    在应用数学解决实际应用问题的过程中,先要将该问题量化,然后要分析哪些是常量,哪些是变量,确定选取哪个作为自变量,哪个作为因变量,最后要把实际问题中变量之间的函数关系正确抽象出来,根据题意建立起它们之间的数学模型. 数学模型的建立有助于我们利用已知的数学工具来探索隐藏其中的内在规律,帮助我们把握现状、预测和规划未来,从这个意义上说,我们可以把数学建模设想为旨在研究人们感兴趣的特定的系统或行为的一种数学构想(如下图).

    在上述过程中,数学模型的建立本质上就函数关系的建立,它是数学建模中最核心和最困难之处。

    建立函数关系(即建立数学模型)通常有下面两种方式:

    1.依题意建立函数关系;
    2.依据经验数据建立近似函数关系(可用Excel做回归分析)。

    对第1点,我们仅通过一个简单的案例来说明。对第2点,我们将在随后的两篇博文中进行说明。

    案例:某运输公司规定货物的吨公里的运价为:在公里以内,每公里元,超过部分每公里为元。求运价和里程之间的函数关系。

    解:根据题意可直接建立其数学模型(即列出其函数关系):。这里运价和里程的函数关系是用分段函数表示的,定义域为

    (未完待续……)

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