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数学建模——从函数关系的建立谈起(二) [编辑] [删除]
2016-10-11 23:44:41 | 分类: 教学研究

    上一篇已经谈到,数学模型的建立本质上就函数关系的建立,建立函数关系通常有下面两种方式:

    1.依题意建立函数关系;
    2.依据经验数据建立近似函数关系(可用Excel做回归分析)。

    本篇将通过案例对第2点的具体方法进行说明。

    在许多实际问题中,人们往往只能通过观测或实验获取反映变量特作的部分经验数据,问题要求我们从这些数据出发来探求隐藏其中的某种模式或趋势。如果这种模式确实存在,而我们又能找到近似表达这种趋势的曲线,那么我们一方面可以用这个表达式来概括这些数据,另一方面能够以此预测其它处的。求这样一条拟合数据的特殊曲线的过程称为回归分析,该曲线称为回归曲线

    实际应用中有许多有用的回归曲线类型,如幂函数曲线、多项式函数曲线、指数函数曲线、对数函数曲线和正弦函数曲线等。尽管有关回归分析的理论内容要到后续内容和后续课程(如概率论与数理统计等课程)中才会涉及,其中一些理论内容甚至整个大学学习阶段都不会涉及,但作为一种重要的数学建模工具,如今的数学软件甚至像Excel那样的办公软件都包含了回归分析的功能,因此,它并不影响我们从应用的角度来学习如何利用回归分析对实际问题进行数学建模。

    案例2:为研究某国标准普通信件(重量不超过50克)的邮资与时间的关系,得到如下数据:

 年份(年)

19781981198419851987199119951997200120052008
 邮资(分) 6 8 10 13 15  20 22 25 29 32 33
试构建一个邮资作为时间函数的数学模型,在检验了这个模型是“合理”的之后,用这个模型来预测一下2012年的邮资.

       :(1) 先将实际问题量化,确定自变量和因变量. 为方便计算,设起始年1978年为0,并用表示,用(单位:分)表示相应年份的信件的邮资,得到下表

03 6 7 9131719232730
68101315202225293233

    (2) 作散点图.

由此图可见邮资与时间大致呈线性关系. 故可设之间的函数关系为

其中为待定常数.
    (3) 求待定常数项. 通过Excel相关功能的计算分别得到的值(详见附录Ⅰ)
          , .
从而得到回归直线为     .
    (4) 在散点图中添加上述回归直线,可见该线性模型与散点图拟合的相当好,说明线性模型是合理的.
    (5) 预测2012年的邮资,即的取值. 将代入上述回归直线方程可得.即可预测2012年的邮资约为39分.

    一般地,我们可按以下四个步骤进行回归分析:
    (1) 将实际问题量化,确定自变量和因变量;
    (2) 根据已知数据作散点图,大致确定拟合数据的函数类型;
    (3) 通过软件(如Excel等)计算,得到函数关系模型;
    (4) 利用回归分析建立的近似函数关系来预测指定点处的值。
    在本案例中,问题所给邮资与时间的数据对之间大致呈线性关系,并且经回归分析所得到的回归曲线为一条直线,此类回归问题又称为线性回归问题,它是最简单的回归分析问题,但却具有广泛的实际应用价值,此外,许多更加复杂的非线性的回归问题,如幂函数、指数函数与对数函数回归等都可以通过适当的变量替换化为线性回归问题来研究. 下一篇中我们就指数函数回归问题为以实例来说明。
      (未完待续……)
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