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数学建模——从函数关系的建立谈起(三) [编辑] [删除]
2016-10-11 23:45:04 | 分类: 教学研究

    接上一篇:数学建模——从函数关系的建立谈起(二)

    案例3:地高辛是用来治疗心脏病的一种药物. 医生必须开出处方用药量使之能保持血液中地高辛的浓度高于有效水平而不超过安全用药水平. 下表中给出了某个特定病人使用初始剂量0.5(毫克)的地高辛后不同时间(天)的血液中剩余地高辛的含量.

  0  1  2  3  4  5  6  7  8
0.5000.3450.2380.1640.1130.0780.0540.0370.026
    (1)试构建血液中地高辛含量和用药后天数间的近似函数关系;
    (2)预测12天后血液中的地高辛含量.

    :(1)根据所给数据作散点图.

由该图可见,之间大致呈指数函数关系,故设函数关系式为 

其中为待定常数. 在上式两端取对数,得,令 则指数函数转化为线性函数

利用题设数据表进一步计算得到下表

      0   1   2   3   4   5   6   7   8
    0.500 0.345 0.238 0.164 0.113 0.078 0.054 0.037 0.026
-0.693-1.064-1.435-1.808-2.180-2.55-2.919-3.297-3.650

采用与上例类似的步骤,计算得到

再由关系式 得 从而得到血液中地高辛含量和用药后天数间的近似函数关系为

在散点图中添加上述回归直线,可见该指数函数与散点图拟合的相当好,说明指数模型是合理的.

    (2) 根据上述函数关系,12天后血液中的地高辛含量为

 (毫克).

    在数学模型的建立及其求解过程中,了解以下几点是重要的:
    (1) 为描述一种特定现象而建立的数学模型是实际现象的理想化模型,从而远非完全精确的表示;
    (2) 反映实际问题的数学模型大多是很复杂的,从实际应用的角度看,人们通常不可能也不必要追求数学模型的精确解;
    (3) 掌握优秀的数学软件工具并学会将其应用于解决相关领域的实际问题成为当代大学生必须具备的一种重要能力。

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