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大学阶段学习线性代数方程组的重大意义 [编辑] [删除]
2016-10-10 23:25:17 | 分类: 教学研究
    线性方程组是线性代数的核心,下面的引言重点介绍了在实际应用中,大型复杂问题是如何借助“有限单元化”和“线性化”的思想方法转化为线性方程组问题的,读者可由此深刻理解线性代数的核心概念,进而感受到线性代数的力与美.

    为了设计新一代的民用或军用飞机,在正式建造飞机的物理模型之前,工程师们首先会利用数值模拟技术在计算机虚拟仿真系统中构建出飞机的三维模型,并通过对飞机飞行过程的虚拟研究飞机周围气流的变化,以解决飞机结构设计中的重大问题. 这在很大程度上缩短了设计周期、节省了设计成本和降低了试验风险,尤其是彻底打破了时间与空间的限制,这其中线性代数发挥了至关重要的作用.
    虽然最后制造完成的飞机表面相当平滑,但其几何结构实际上是错综复杂的(见图1),除了机翼和机身,一架飞机还包括发动机舱、水平尾翼、活动辅助翼和副翼. 飞机飞行时空气在这些部件周围的流动方式决定了飞机在空中的飞行方式. 描述这些气流的方程非常复杂. 因此,为了研究气流对飞机飞行的影响,工程师们需要高度精确地描述飞机的表面.
    为了得到飞机结构的数值模型,典型的做法是向飞机的虚拟实体模型中添加一个三维的立方体网格. 每个小网格中的立方体称为三维单元,它们或者完全位于飞机内部,或者完全位于飞机外部,或者与飞机表面相交(见图2). 一个典型的三维网格可能包含几十万甚至上百万个三维单元. 可以想象的是,网格细分的程度越高,它包含的三维单元的个数就越多,虚拟系统的仿真程度也就越高. 当网格的细分使得相关的三维单元足够小时,则在该单元上,描述气流的复杂方程可被简单的线性方程(组)近似代替,因此,计算飞机表面的气流实质上需要反复求解包含多达数百万个线性方程和未知量的线性方程组. 即使利用目前市场上速度最快的计算机,工程师们建立并求解一个气流问题也要花费几小时到几天的计算时间. 而整个虚拟仿真过程可能要处理上千个这样的问题.
    上一段中描述的将一个实体模型划分为有限个单元以及在充分小的单元上将复杂方程近似线性化的思想就是目前在许多计算与仿真软件系统中广泛采用的“有限单元法”的基本思想,它自20世纪80年代起迅速发展,目前已成为众多计算与仿真软件系统的算法基础.
    线性代数在应用上的重要性与计算机的计算性能成正比例增长,而这一性能伴随着计算机软硬件的创新在不断提升. 最终,计算机并行处理和大规模计算的迅猛发展将会把计算机科学与线性代数紧紧地联系在一起,并广泛应用于解决飞机制造、桥梁设计、交通规划、石油勘探、经济管理等领域的科学问题.
    科学家和工程师如今处理的问题远比几十年前想象的要复杂得多. 今天,对于理工科和经济管理学科专业的大学生来说,线性代数比其它大学数学课程具有更大的潜在应用价值.   

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