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诡异的克莱因瓶 [编辑] [删除]
2016-10-11 23:56:15 | 分类: 数学欣赏

在数学领域中,克莱因瓶Klein bottle)是指一种无定向性的平面,比如二维平面,就没有内部外部之分。在拓扑学中,克莱因瓶(Klein Bottle)是一个不可定向的拓扑空间。克莱因瓶最初由德国几何学大家菲立克斯·克莱因 (Felix Klein)1882提出。克莱因瓶的结构可表述为:一个瓶子底部有一个洞,现在延长瓶子的颈部,并且扭曲地进入瓶子内部,然后和底部的洞相连接。这种瓶子根本没有内、外之分,无论从什么地方穿透曲面,到达之处依然在瓶的外面,一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面(即它没有内外之分)。所以,它本质上就是一个有外无内的古怪东西。

尽管现代玻璃工业已经发展得非常先进,但是,所谓的克莱因瓶却始终是大数学家克莱因先生脑子里头的虚构物,根本制造不出来。许多国家的数学家老是想造它一个出来,作为献给国际数学家大会的礼物。然而,等待他们的是一个失败接着一个失败。因此,在过去,人们普遍认为克莱因瓶是不可能嵌入三维空间中的。在三维空间中,克莱因瓶必然跟自身相交,用数学的语言说,这样得到的克莱因瓶在三维中的实现是克莱因瓶在三维空间中的浸入(immersion)。

但是我们可以把克莱因瓶放在四维空间中来理解:克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面。如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中,我们只好将就点,把它表现得似乎是自己和自己相交一样。克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的,并不穿过瓶壁。用扭结来打比方,如果把它看作平面上的曲线的话,那么它似乎自身相交,再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白,这个图形其实是三维空间中的曲线。它并不和自己相交,而是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样,但是如果有第三维的话,它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时,只好将就一点,把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样,我们可以把它理解成处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中,即使是最高明的能工巧匠,也不得不把它做成自身相交的模样;就好像最高明的画家,在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。有趣的是,如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去,竟会得到两个莫比乌斯环

    下面这段视频为我们更好的理解克莱因瓶起到很好作用,值得一看。

:菲利克斯·克莱因是德国数学家。1849425生于杜塞尔多夫。1925622卒于哥廷根。克莱因在杜塞尔多夫读的中学,毕业后,他考入了波恩大学学习数学和物理。他本来是想成为一位物理学家,但是数学教授普律克改变了他的主意。1868年克莱因在普律克教授的指导下完成了博士论文。在这一年里普律克教授去世了,留下了未完成的几何基础课题,克莱因是完成这一任务的最佳人选。后来克莱因又去服了兵役。1871年,克莱因接受哥廷根大学的邀请担任该校的数学讲师。1872年他又被埃尔朗根大学聘任为数学教授,这时他只有23岁。1875年他在慕尼黑高等技术学院取得了一个教席。18801886年任莱比锡大学教授。1886年,克莱因接受了哥廷根大学的邀请来到哥廷根,开始了他的数学家的生涯,他在这里直到1913年退休。

    18721895年任哥廷根数学年刊主编,倡导编辑《数学百科全书》并编写了其中的第4卷。他的主要课题是非欧几何、群论和函数论。他的将各种几何用它们的基础变换来分类的爱尔兰根纲领(1872年在埃尔朗根大学就职正教授的演讲)的发表影响深远:是当时数学内容的一个综合。著作有《高观点下的初等数学》。

   

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